Question

4．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）分別求拋物線C和橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l₁，l₂，切線l₁與l₂相交于點(diǎn)M．證明AB⊥MF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1）可得拋物線C的方程為x²=4y；由點(diǎn)橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，橢圓方程可求．
（Ⅱ）要證明AB⊥MF，只需證$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$=0即可．設(shè)直線l的方程為y=kx+，1與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元二次方程，求兩根的和與積，再用導(dǎo)數(shù)求過A，B點(diǎn)的切線方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1）可得拋物線C的方程為x²=4y．
設(shè)橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，半焦距為c．由已知可得：$\left\{{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得  a=2，b=1．所以橢圓E的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．  …（4分）
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，…（6分）
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$，消去y并整理得x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4．
∵拋物線C的方程為$y=\frac{1}{4}{x^2}$，求導(dǎo)得$y'=\frac{1}{2}x$，
∴過拋物線C上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是$y-{y_1}=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）$，$y-{y_2}=\frac{1}{2}{x_2}（x-{x_2}）$，
即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}{x_1}^2$，$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}{x_2}^2$，
解得兩條切線l₁，l₂的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）$，即M$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，-1）$，$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}=（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，-2）•（{x_2}-{x_1}，{y_2}-{y_1}）$=$\frac{1}{2}（{x_2}^2-{x_1}^2）-2（\frac{1}{4}{x_2}^2-\frac{1}{4}{x_1}^2）=0$，
∴AB⊥MF． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線，橢圓與直線導(dǎo)數(shù)等的綜合應(yīng)用，屬于較難題型，做題適應(yīng)認(rèn)真分析，找到他們的聯(lián)系點(diǎn)．