Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f′（

x1x2

）＜0（f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）；
（3）設(shè)g（x）=3ax²-ax+2+a，若f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=e^x-ax+a，知f′（x）=e^x-a，再由a的符號(hào)進(jìn)行分類討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)交點(diǎn)求出a的取值范圍；
（2）由x₁、x₂的關(guān)系，求出f′(

x1+x2

2

)＜0，然后再根據(jù)f′（x）=e^x-a的單調(diào)性，利用不等式的性質(zhì)，問題得以證明；
（3）F（x）是偶函數(shù)，可得f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立?F（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立．分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a取值范圍．

解答： （1）解：f'（x）=e^x-a．
若a≤0，則f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，則x=lna．
當(dāng)x＜lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；x＞lna時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
于是當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取得極小值．
∵函數(shù)f（x）=e^x-ax+a（a∈R）的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e²．此時(shí)，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a³-3alna+a＞a³-3a²+a＞0，
又f（x）在R上連續(xù)，故a＞e²為所求取值范圍．…（4分）
（2）證明：∵

ex1-ax1+a=0 ex2-ax2+a=0

兩式相減得a=

ex2-ex1

x2-x1

．
記

x2-x1

2

=s(s＞0)，則f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

-

ex2-ex1

x2-x1

=

e x1+x2 2

2s

[2s-(es-e-s)]，
設(shè)g（s）=2s-（e^s-e^-s），則g′（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，∴g（s）是單調(diào)減函數(shù)，
則有g(shù)（s）＜g（0）=0，而

e x1+x2 2

2s

＞0，∴f′(

x1+x2

2

)＜0．
又f'（x）=e^x-a是單調(diào)增函數(shù)，且

x1+x2

2

＞

x1x2

∴f′(

x1x2

)＜0．                         …（8分）
（3）解：設(shè)F（x）=f（x）+e^-x-g（x）=e^x+e^-x-3ax²-2
∵F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函數(shù)
∴f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立?F（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立．
F′（x）=e^x-e^-x-6ax，設(shè)h（x）=（F′（x））′=e^x+e^-x-6a
∴h′（x）=e^x+e^-x=

e2x-1

ex

≥0
∴h（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（0）=2-6a
①當(dāng)2-6a≥0?a≤

1

3

時(shí)，h（x）≥h（0）=2-6a≥0⇒F′（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴F（x）≥F（0）=0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立
②當(dāng)2-6a＜0?a＞

1

3

時(shí)，h（0）=2-6a＜0
∵h(yuǎn)（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h(ln6a)=

1

6a

＞0
故?x₀∈（0，+∞），使h（x₀）=0
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜0⇒F′（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減⇒F′（x）＜F′（x）=0
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，此時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（0）=0對(duì)x∈[0，+∞）不恒成立
綜上，當(dāng)a≤

1

3

時(shí)，F(xiàn)（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，即f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立       …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題屬于難題，考查分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，方程思想，做題要認(rèn)真仔細(xì)，方法要明，過程要嚴(yán)謹(jǐn)，能提高分析問題解決問題的能力．