Question

7．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
①經(jīng)過點(diǎn)A垂直于平面A₁BD的直線也垂直于平面B₁D₁C；
②設(shè)O為AC和BD的交點(diǎn)，則異面直線AB₁與OC₁所成的角是$\frac{π}{6}$；
③若正方體的棱長(zhǎng)為2，則經(jīng)過棱D₁C₁，B₁C₁，BB₁中點(diǎn)的正方體的截面面積為3$\sqrt{3}$；
④若點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在對(duì)角線A₁C上，且滿足PQ⊥A₁C，PA=PQ，則點(diǎn)P的軌跡是線段．
以上命題正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由條件利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線和平面的位置關(guān)系，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，易證平面A₁BD∥面B₁D₁C選，∴①正確；
∵A₁B∥D₁C，∠OC₁D就是異面直線AB₁與OC₁所成的角．
∵BD⊥OC，BD⊥CC₁，∴BD⊥面OCC₁，∴BD⊥OC₁，
又$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}{C_1}D$，∴$∠O{C_1}D=\frac{π}{6}$，即異面直線AB₁與OC₁所成
的角是$\frac{π}{6}$，∴②正確；
設(shè)棱B₁D₁，B₁C₁，BB₁，AB，AD，DD₁的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，M，N，
則過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的正方形截面就是正六邊形EFGHMN，$S=6×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（{\sqrt{2}}）^2}=3\sqrt{3}$，∴③正確；
連結(jié)A₁P，易證AA₁⊥AP，又PQ⊥A₁C，PA=PQ，PA₁=PA₁，∴Rt△A₁PA≌Rt△A₁PQ，A₁A=A₁Q，
∴Q為A₁C上定點(diǎn)．
又PA=PQ，點(diǎn)P在線段AQ的中垂面上，∴點(diǎn)P在AQ的中垂面與正方形ABCD的交線上，
∴④正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線和平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．