Question

12．已知f（x）=|x-1|-|x+3|．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．
（3）若f（x）-a≥0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）≤2的解集．
（2）由題意根據f（x）的最小值為-4，可得-4-a≥0，由此求得a的范圍．
（3）由題意根據f（x）的最大值為4，可得4-a≥0，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=|x-1|-|x+3|表示數軸上的x對應點到1對應點的距離減去它到-3對應點的距離，
而-2對應點到1對應點的距離減去它到-3對應點的距離正好等于2，
故不等式f（x）≤2的解集為{x|x≤2}．
（2）若f（x）-a≥0恒成立，由于f（x）的最小值為-4，故有-4-a≥0，∴a≤-4．
（3）若f（x）-a≥0有解，由于f（x）的最大值為4，故有4-a≥0，求得a≤4．

點評 本題主要考查絕對值的意義，函數的恒成立問題、函數的能成立問題，解絕對值不等式，求函數的最值，屬于基礎題．