已知點(diǎn)M是曲線C上任一點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線L交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，求直線L的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由
y2=4x
y=kx+2
，得ky2-4y+8=0，由此利用韋達(dá)定理和以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O求出k=-
1
2
，由此能求出直線l的方程．
解答： 解：（1）∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1，
∴點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
∴點(diǎn)M的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為：y2=4x．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2（k≠0），
A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y2=4x
y=kx+2
，消去x得：ky2-4y+8=0，
則△=16-32k＞0，解得k＜
1
2
，
∴y1y2=
8
k
，x1x2=
y12
4
•
y22
4
=
4
k2
，
∴以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
∴
4
k2
+
8
k
=0，解得k=-
1
2
，
∴直線l的方程為y=-
1
2
x+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根與系數(shù)關(guān)系的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓C上，且對(duì)角線AC，BD均過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若kAC•kBD=-
1
2
．
①求
OA
•
OB
的范圍；
②求四邊形ABCD的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x
，x＞0
4x，x≤0
，若函數(shù)y=f（x）-k存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（　�。�
A、10B、17C、26D、28

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)M（-5，0），F(xiàn)（1，0），點(diǎn)K滿足
MK
=2
KF
，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|
PF
|•|
KF
|=
PK
•
FK
，
（Ⅰ）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過Q（4，0）的直線l交C于A點(diǎn)（A在第一象限）．問：是否存在垂直于x軸的直線l′，使其被以AQ為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出直線l′的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將圓p：x2+y2=4上任意一點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?nbsp;（橫坐標(biāo)不變），得到點(diǎn)P，并設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q（
3
，0）的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為N，且
OE
=2
ON
，點(diǎn)E在曲線C上，求直線l：
x
a
+
y
b
=1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2lnx-x2+ax+b，已知a是正實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使得e≤f（x）≤e2+1對(duì)x∈[1，e]恒成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為F1的圓的方程為（x+2）2+y2=32，F(xiàn)2（2，0），C是圓F1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)N（0，2），過點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，交M的軌跡于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1+k2為定值．

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