Question

20．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在C上，△OBA為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）若圓x²+y²=1經(jīng)過(guò)C上頂點(diǎn)，與x²+y²=1相切的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求弦|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，有B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即可求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）分類討論，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求弦|MN|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，有B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
得a²=3b²，即a²=3（a²-c²），3c²=2a²，
故橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）由題意，得b²=1，a²=3．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)l的方程為x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
得M（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），N（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），|MN|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．…（7分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，由題意，
有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1．
將y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
所以|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$≤$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{2\sqrt{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取“=”）．
因?yàn)?\sqrt{3}$＞$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以|MN|的最大值為$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．