Question

12．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C過點P（0，$\sqrt{3}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程
（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點．
①求k，m滿足的關(guān)系式
②如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點，作F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，垂足分別為M，N，四邊形F₁MNF₂的面積S是否存在最大值？若存在，求出該最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓C過點P（0，$\sqrt{3}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．可求得橢圓方程．
（2）設(shè)出直線方程代入橢圓列式得到關(guān)系式，根據(jù)面積公式，由均值不等式求得最值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓得方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，∴$b=\sqrt{3}，c=1$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）①將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，
得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，化簡得m²=4k²+3，
②設(shè)d₁=|F1M|=$\frac{|-k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}，nxl1r94_{2}=|{F}_{2}M|=\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$當(dāng)k≠0時，設(shè)直線l的傾斜角為θ．
則|d₁d₂|=|MN||tanθ|，∴$|MN|=|\frac{e7clr9b_{1}-bfwu7lf_{2}}{k}|$，
$S=\frac{1}{2}|\frac{w52zvwh_{1}-xxfvr4u_{2}}{k}|（eufdfdm_{1}+pjh4k1i_{2}）=|\frac{iclomf7_{1}^{2}-jyt63l9_{2}^{2}}{2k}|$=$\frac{2|m|}{{k}^{2}+1}=\frac{2|m|}{\frac{{m}^{2}-3}{4}+1}=\frac{8}{|m|+\frac{1}{|m|}}$，
∵m²=4k²+3，當(dāng)k≠0時，$|m|＞\sqrt{3}，|m|+\frac{1}{|m|}＞\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$S＜2\sqrt{3}$又當(dāng)k=0時，四邊形F₁MNF₂為矩形，$S=2\sqrt{3}$，
∴四邊形F₁MNF₂的最大值為$S=2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，利用均值不等式求得最值．在高考中圓錐曲線的最值經(jīng)常與均值不等式合體考查，應(yīng)重點注意．