Question

15．已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是它的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，則橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，可得$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{A{F}_{1}}$，|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{^{2}}{a}$，利用|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，可得2c=$\frac{4}{3}$×$\frac{^{2}}{a}$，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，可得$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{A{F}_{1}}$，∴|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{^{2}}{a}$，
∵|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，
∴2c=$\frac{4}{3}$×$\frac{^{2}}{a}$，
∴3ac=2（a²-c²），
∴2e²+3e-2=0，
∴e=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．