Question

9．若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{2x+y}+\frac{4}{x+y}=2$，則7x+5y的最小值為7+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由題意可得7x+5y=2（2x+y）+3（x+y）=$\frac{1}{2}$[2（2x+y）+3（x+y）]（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{x+y}$）=$\frac{1}{2}$[14+$\frac{3（x+y）}{2x+y}$+$\frac{8（2x+y）}{x+y}$]，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，x+y＞0，
又∵$\frac{1}{2x+y}+\frac{4}{x+y}=2$，
∴7x+5y=2（2x+y）+3（x+y）
=$\frac{1}{2}$[2（2x+y）+3（x+y）]（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{x+y}$）
=$\frac{1}{2}$[14+$\frac{3（x+y）}{2x+y}$+$\frac{8（2x+y）}{x+y}$]
≥$\frac{1}{2}$[14+2$\sqrt{\frac{3（x+y）}{2x+y}•\frac{8（2x+y）}{x+y}}$]
=7+2$\sqrt{6}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3（x+y）}{2x+y}$=$\frac{8（2x+y）}{x+y}$時(shí)取等號
故答案為：7+2$\sqrt{6}$

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，整體變形是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．