Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x）的解析式，再利用單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小值m．
（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得|x-a|+|x+2|≥|a+2|，可得|a+2|≥3，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥2}\\{9-3x，x＜2}\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）的最小值m=f（2）=3．
（Ⅱ）∵|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，
故有|a+2|≥m=3，故有a+2≤-3，或 a+2≥3，
求得a≤-5，或a≥1．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．