Question

15．設(shè)0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，x=（sinθ）${\;}^{lo{g}_{a}sinθ}$，y=（cosθ）${\;}^{lo{g}_{a}tanθ}$，則x，y的大小關(guān)系是x＜y．

Answer 1

分析 化指數(shù)式為對數(shù)式，得到x=${a}^{（lo{g}_{a}sinθ）^{2}}$，y=${a}^{（lo{g}_{a}tanθlo{g}_{a}cosθ）}$，作差比較$（lo{g}_{a}sinθ）^{2}$與log_atanθ•log_acosθ后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得答案．

解答 解：（1）∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$，x=（sinθ）${\;}^{lo{g}_{a}sinθ}$，y=（cosθ）${\;}^{lo{g}_{a}tanθ}$，
∴l(xiāng)og_asinθ=log_sinθx，log_atanθ=log_cosθy，
∴x=${a}^{（lo{g}_{a}sinθ）^{2}}$，y=${a}^{（lo{g}_{a}tanθlo{g}_{a}cosθ）}$，
∵$（lo{g}_{a}sinθ）^{2}-lo{g}_{a}tanθlo{g}_{a}cosθ$=log_asinθ•log_asinθ-log_asinθ•log_acosθ+log_acosθ•log_acosθ
=$lo{g}_{a}sinθ•lo{g}_{a}tanθ+（lo{g}_{a}cosθ）^{2}$，
∵0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
∴l(xiāng)og_asinθ＞0，log_atanθ＞0，
∴$（lo{g}_{a}sinθ）^{2}＞lo{g}_{a}tanθ•lo{g}_{a}cosθ$．
∴x＜y．
故答案為：x＜y

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，考查指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，訓(xùn)練了比較法比較兩個數(shù)的大小，是中檔題．