Question

13．圓錐曲線$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{{{{（a+1）}^2}+3}}$=1的離心率的取值范圍是1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{30}}{6}$≤e＜1．

Answer 1

分析 分類討論，利用離心率公式，結(jié)合基本不等式，即可得出離心率的取值范圍．

解答 解：a＜0，則e²=$\frac{（a+1）^{2}+3-a}{（a+1）^{2}+3}$=1+$\frac{1}{-a-\frac{4}{a}-2}$≤$\frac{3}{2}$，∴1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
a＞0，則e²=$\frac{（a+1）^{2}+3-a}{（a+1）^{2}+3}$=1-$\frac{1}{a+\frac{4}{a}+2}$≥$\frac{5}{6}$，∴$\frac{\sqrt{30}}{6}$≤e＜1．
故答案為：1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{30}}{6}$≤e＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離心率的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．