Question

7．設(shè)f（x）=|lnx|，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個零點．則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 方法一：g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個零點可化為|lnx|-ax=0在區(qū)間（0，4）上有三個不同的解，令令a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，1≤x＜4}\end{array}\right.$；討論函數(shù)的取值即可，
方法二：首先，畫出函數(shù)y=|lnx|的圖象，然后，借助于圖象，結(jié)合在區(qū)間（0，4）上有三個零點，進行判斷

解答 解：方法一：∵g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個零點，
∴|lnx|-ax=0在區(qū)間（0，4）上有三個不同的解，
令a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，1≤x＜4}\end{array}\right.$；
則當0＜x＜1時，-$\frac{lnx}{x}$的值域為（0，+∞）；
當1≤x＜4時，a=$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上是增函數(shù)，
0≤$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，
在[e，4）上是減函數(shù)，
$\frac{ln2}{2}$≤$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$；
故當a∈（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）時，有三個不同的解．
方法二：函數(shù)y=|lnx|的圖象如圖示
當a≤0時，顯然，不合乎題意，
當a＞0時，如圖示
當x∈（0，1]時，存在一個零點，
當x＞1時，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）為增函數(shù)，
此時f（x）必須在（1，4）上有兩個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（4）＜0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
在區(qū)間（0，3]上有三個零點時，
故實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$），
故答案為：（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程的根及函數(shù)的取值的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．