Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0且S_n=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{n}{{a}_{n}}）$，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 a_n＞0且S_n=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{n}{{a}_{n}}）$，分別取n=1時，解得a₁=1．當(dāng)n=2時，解得a₂=$\sqrt{3}$-1．當(dāng)n=3時，同理可得：a₃=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．…，猜想：a_n=$\sqrt{\frac{n（n+1）}{2}}$-$\sqrt{\frac{n（n-1）}{2}}$．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：∵a_n＞0且S_n=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{n}{{a}_{n}}）$，
∴當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a₁=1．
當(dāng)n=2時，1+a₂=$\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{2}{{a}_{2}}）$，解得a₂=$\sqrt{3}$-1．
當(dāng)n=3時，同理可得：a₃=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
…，
猜想：a_n=$\sqrt{\frac{n（n+1）}{2}}$-$\sqrt{\frac{n（n-1）}{2}}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，a₁=1成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時，a_k=$\sqrt{\frac{k（k+1）}{2}}$-$\sqrt{\frac{k（k-1）}{2}}$．
則當(dāng)n=k+1∈N^*時，S_k+a_k+1=$\frac{1}{2}（{a}_{k+1}+\frac{k+1}{{a}_{k+1}}）$，
∴$\frac{1}{2}（{a}_{k}+\frac{k}{{a}_{k}}）$+a_k+1=$\frac{1}{2}（{a}_{k+1}+\frac{k+1}{{a}_{k+1}}）$，
化為：a_k+1=$\sqrt{\frac{（k+1）（k+2）}{2}}$-$\sqrt{\frac{k（k+1）}{2}}$．
因此當(dāng)n=k+1時，假設(shè)成立．
綜上可得：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{\frac{n（n+1）}{2}}$-$\sqrt{\frac{n（n-1）}{2}}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．