Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的弦AB過以P（-8，-10）為中點(diǎn)，
（1）求直線AB的方程．
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平方差法：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線方程然后作差，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式可求得直線l的斜率，再用點(diǎn)斜式即可求得直線方程．
（2）直線代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理求出|AB|，求出O點(diǎn)到AB的距離，即可求三角形OAB的面積．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-16，y₁+y₂=-20，
A，B代入方程，兩式相減得5（x₁-x₂）（x₁+x₂）-4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
所以k_AB=1，…（4分）
而直線過P，所以AB的方程為y=x-2，經(jīng)檢驗(yàn)此方程滿足條件．，…（7分）
（2）y=x-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得x²+16x-36=0，
∴x₁+x₂=-16，x₁x₂=-36，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{1{6}^{2}+4•36}$=20$\sqrt{2}$（9分）
O點(diǎn)到AB的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，…（11分）
∴所求面積為$\frac{1}{2}×20\sqrt{2}×\sqrt{2}$=20…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查直線方程的求法，涉及弦中點(diǎn)問題，往往考慮利用“平方差法”加以解決．