Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點$A（1，\frac{3}{2}）$到F₁，F(xiàn)₂兩點的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點P是（1）中所得橢圓C上的動點，且點$Q（0，\frac{1}{3}）$，求線段PQ長的最大值；
（3）若E，F(xiàn)是（1）中所得橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，M是橢圓上任意一點，則當直線ME，MF的斜率都存在，并記為k_ME、k_MF時，k_ME•k_MF是否為與點M位置無關(guān)的定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可得a=2，再由A在橢圓上，滿足橢圓方程，解得b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出P的坐標，由兩點的距離公式，結(jié)合配方和二次函數(shù)的最值求法，可得最大值；
（3）設(shè)點E的坐標為（m，n），則點F的坐標為（-m，-n），其中$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$．又設(shè)點M的坐標為（x，y），則$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．由直線的斜率公式，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由題意，橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得：2a=4，即a=2．                         
又點$A（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，所以$\frac{1}{2^2}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，得b²=3，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．                      
（2）設(shè)P（x，y），則$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
即${x^2}=4-\frac{4}{3}{y^2}$．
$P{Q^2}={x^2}+{（y-\frac{1}{3}）^2}=4-\frac{4}{3}{y^2}+{y^2}-\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}$=$-\frac{1}{3}{y^2}-\frac{2}{3}y+\frac{37}{9}=-\frac{1}{3}{（y+1）^2}+\frac{40}{9}$，
當y=-1時，$P{Q_{max}}=\frac{{2\sqrt{10}}}{3}$．
（3）k_ME•k_MF是與點M位置無關(guān)的定值，且定值為$-\frac{3}{4}$．
設(shè)點E的坐標為（m，n），則點F的坐標為（-m，-n），其中$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$．
又設(shè)點M的坐標為（x，y），則$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
由${k_{ME}}=\frac{y-n}{x-m}，{k_{MF}}=\frac{y+n}{x+m}$得：${k_{ME}}•{k_{MF}}=\frac{y-n}{x-m}•\frac{y+n}{x+m}=\frac{{{y^2}-{n^2}}}{{{x^2}-{m^2}}}$．
$將{y^2}=3-\frac{3}{4}{x^2}$，${n^2}=3-\frac{3}{4}{m^2}$，
代入得：${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{\frac{3}{4}（{m^2}-{x^2}）}}{{{x^2}-{m^2}}}=-\frac{3}{4}$．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和方程的運用，注意點在橢圓上滿足橢圓方程，同時考查直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．