Question

7．從一點(diǎn)O順次引出八條射線OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH，其中每相鄰兩條射線的夾角都是45°，在OA上取OA=a，由A作OB的垂線AA₁，A₁是垂足；由點(diǎn)A₁作OC的垂線A₁A₂，A₂是垂足，由點(diǎn)A₂作OD的垂線A₂A₃，A₃是垂足，然后用同樣的方法如此無限繼續(xù)下去，求所得折線A₁A₂A₃A₄…的長度．

Answer 1

分析 由題意可得AA₁=OA₁=asin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，A₁A₂=OA₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²a，A₂A₃=OA₃=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³a，進(jìn)而得到通項(xiàng)，再由等比數(shù)列的求和公式和無窮等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：由題意可得，AA₁=OA₁=asin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
A₁A₂=OA₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²a，
A₂A₃=OA₃=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³a，
…
A_n+1A_n═（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿa，
則折線A₁A₂A₃A₄…=A₁A₂+A₂A₃+…+A_nA_n+1+…
=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²a+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³a+…+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿa+…
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{2}a（1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}）}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{a}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用無窮等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．