Question

(本小題滿分12分) 已知圓，點，直線.
(1) 求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；
(2) 在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

試題分析：（1）充分利用垂直直線系方程設直線方程，即若直線垂直于直線,則可設直線方程為：,并利用圓與直線相切時，圓心到直線的距離等于半徑的幾何性質性質求解得直線方程；（2）假設存在，利用條件表達出并利用坐標化簡求解.
試題解析：
⑴因所求直線垂直于直線，故設所求直線方程為，
直線與圓相切，∴，得，∴所求直線方程為 .
⑵假設存在這樣的點，當為圓與軸左交點時，；
當為圓與軸右交點時，，依題意，，
解得，（舍去），或.
下面證明 點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).
設，則，
∴，
從而為常數(shù).