Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=a∈（0，1]，且a_n+1=

an-1 an ，an＞1 2an，an≤1

，若對任意的，總有a_n+3=a_n成立，則a的值為

1

2

或1

．

Answer 1

分析：由a₁=a∈（0，1]，知a₂=2a∈（0，2]，當0＜a≤

1

2

時，a₃=2a₂=4a，若0＜a≤

1

4

，a₄=2a₃=8a≠a₁，不合適；若

1

4

＜a≤

1

2

，a4=

a3-1

a3

=1-

1

4a

=a，解得a=

1

2

．當

1

2

＜a≤1時，a3=

a2-1

a2

=1-

1

2a

∈(0，

1

2

]，a4=2a3=2(1-

1

2a

)=2-

1

a

=a．解得a=1．

解答：解：∵a₁=a∈（0，1]，
∴a₂=2a∈（0，2]，
當0＜a≤

1

2

時，a₃=2a₂=4a，
若0＜a≤

1

4

，則a₄=2a₃=8a≠a₁，不合適；
若

1

4

＜a≤

1

2

，則a4=

a3-1

a3

=1-

1

4a

，
∴1-

1

4a

=a，解得a=

1

2

．
當

1

2

＜a≤1時，a3=

a2-1

a2

=1-

1

2a

∈(0，

1

2

]，
∴a4=2a3=2(1-

1

2a

)=2-

1

a

．
∴2-

1

a

=a，解得a=1．
綜上所述，a=

1

2

，或a=1．
故答案為：

1

2

或1．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．