Question

1．將5個小球放到3個盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法？
①小球不同，盒子不同，盒子不空；
 ②小球不同，盒子不同，盒子可空；
③小球不同，盒子相同，盒子不空；    
④小球不同，盒子相同，盒子可空；
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空；   
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空；
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空；
⑧小球相同，盒子相同．

Answer 1

分析 根據(jù)不同情況，利用先分后排的方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：①小球不同，盒子不同，盒子不空，將小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2，再放在3個不同的盒子中，有$（\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}）•{A}_{3}^{3}$=150種；
 ②小球不同，盒子不同，盒子可空，有3⁵種；
③小球不同，盒子相同，盒子不空，將5個不同小球分成3份，分法為1，1，3；1，2，2，共有$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=25種；    
④小球不同，盒子相同，盒子可空，將5個不同的小球分成1份、2份、3份，共有${C}_{5}^{5}$+（${C}_{5}^{4}+{C}_{5}^{3}$）+$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=41；
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空，用隔板法，有${C}_{4}^{2}$=6種方法；   
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空，把5個小球及插入的2個隔板都設(shè)為小球，7個小球種任選兩個變?yōu)楦舭澹�可以相鄰），那�?塊隔板分成3份的小球數(shù)對應(yīng)于相應(yīng)的3個不同盒子，故有${C}_{7}^{3}$=21種；
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空，5個相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1，共2種；
⑧小球相同，盒子相同，只要將5個相同小球分成1份，2份，3份．分法如下：5，0，0；4，1，0；3，2，0；3，1，1；2，2，1，共5種．

點評 本題考查排列組合知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．