Question

8．已知命題p：?x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$＜m；命題q：直線y=mx+2與圓x²+y²-2x-4y+$\frac{19}{4}$=0相交．
（1）若（-p）∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由（-p）∧q為真命題，得命題p命題p是假命題，命題q是真命題，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）由已知得p真q假或p假q真，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵（-p）∧q為真命題，
∴命題p：?x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$＜m是假命題，
命題q：直線y=mx+2與圓x²+y²-2x-4y+$\frac{19}{4}$=0相交是真命題，
由命題p是假命題，得：?x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$=（x₀-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≥m，解得m≤$\frac{1}{4}$，①
由命題q是真命題，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+\frac{19}{4}=0}\end{array}\right.$，
整理，得$（{m}^{2}+1）{x}^{2}-2x+\frac{3}{4}=0$，
$△=（-2）^{2}-4（{m}^{2}+1）×\frac{3}{4}≥0$，解得m∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．②
由①②得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{4}$]．
（2）∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p真q假或p假q真，
當(dāng)P為真命題時，x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$=（x₀-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$＜m，m$≥\frac{5}{2}$，
當(dāng)p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{5}{2}}\\{m≤-\frac{\sqrt{3}}{3}或m≥\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，即$m≤-\frac{\sqrt{3}}{3}$或m≥$\frac{5}{2}$．
當(dāng)p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{4}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，即$-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m≤\frac{1}{4}$，
綜上，p∨q為真命題，p∧q為假命題，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意命題真假的合理運(yùn)用．