Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β），其中α、β為常數(shù)，且滿足0＜α＜β＜π．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，是否存在α、β，使得f（x）是與x無(wú)關(guān)的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：若存在α、β，使得f（x）是與x無(wú)關(guān)的定值，則f（x）為常數(shù)，利用三角函數(shù)的和差化積公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）=

1

2

[1+cos2x]+

1

2

[1+cos2（x+α）]+

1

2

[1+cos2（x+β）]
=

3

2

+

1

2

[cos2x+cos2（x+α）+cos2（x+β）]
=

3

2

+

1

2

[cos2x+2cos（2x+α+β）cos（α-β）]
要使f（x）的值不隨x的變化而變化，則：
cos2x和2cos（2x+α+β）cos（α-β）中必含有cos2x這個(gè)公因子，
且提取出這個(gè)公因子后，其系數(shù)為0
若cos（2x+α+β）=|cos2x|，
又0≤α＜β≤π，
∴α+β=π 
即cos（2x+α+β）=-cos2x，
此時(shí)f（x）=

3

2

+

1

2

[cos2x-2cos2xcos（α-β）]=

3

2

+

1

2

cos2x[1-2cos（α-β）]，
即-2cos（α-β）=-1，
∴cos（α-β）=

1

2

，
即β-α=

π

3

，
∴α=

π

3

，β=

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查學(xué)生的計(jì)算能力．