Question

在下列命題
①?x∈R，(

1

2

)x＞0； 
②“α=

π

2

”是“sinα=1”的充要條件；
③(

x3

2

+

1

x

)4展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2；
④設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，則P（-1＜ξ＜0）=

1

2

-p．
其中所有正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A、①②③
• B、①③④
• C、①②④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì),二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判定①是否正確，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可以判定②是否正確；
根據(jù)二項(xiàng)展開式可以判定③是否正確，根據(jù)正態(tài)分布的知識(shí)可以判定④是否正確．

解答： 解：①中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，“?x∈R，(

1

2

)x＞0”是正確的； 
②中，當(dāng)α=

π

2

時(shí)，sinα=sin

π

2

=1，當(dāng)sinα=1時(shí)，α=

π

2

+2kπ，其中k∈Z；應(yīng)是充分不必要條件，∴命題錯(cuò)誤；
③中，(

x3

2

+

1

x

)4展開式T_r=

C

r 4

(

x3

2

)4-r•(

1

x

)r=

C

r 4

(

1

2

)4-r•x^12-4r，令12-4r=0，
∴r=3，∴T₃=

C

3 4

×

1

2

=2，∴常數(shù)項(xiàng)為2，命題正確；
④中，隨機(jī)變量ξ～N（0，1），∵P（ξ≥1）=p，∴P（-1＜ξ＜0）=

1

2

-p，命題正確；
以上正確命題的序號(hào)是①③④；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二項(xiàng)展開式以及正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)，是綜合題．