Question

【題目】如圖，在多面體中，正三角形所在平面與菱形所在的平面垂直， 平面，且.

（1）判斷直線平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，通過(guò)計(jì)算可得，可進(jìn)一步得，可得線面平行；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.利用二面角的法向量與半平面的法向量的關(guān)系求得二面角的余弦值．

試題解析：（1）直線與平面平行，理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)樵谡�三角�?/span>中， ，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面平面，平面平面.

（2）如圖，連接，由（1）可得為的中點(diǎn)，又，故為等邊三角形，

所以.

又平面，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則,

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

取，則是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，得是平面的一個(gè)法向量.

所以，

由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值是.