Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，異面直線PA和CD所成角等于60°.

(1)求證：面PCD⊥面PBD；

(2)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；

(3)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)E在棱PA上的位置，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）存在

【解析】(1)證明:PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，

又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB?平面PBD.

∴CD⊥平面PBD，又CD?平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PBD.

(2)如圖，以B為原點(diǎn)，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC＝a，BP＝b，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，

D(2,2,0)，P(0,0，b)．

∵＝(2,2，－b)，＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，

∴·＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，

又＝(2,0，－b)，＝(2，－2,0)，

異面直線PA和CD所成角等于60°，

∴＝，

即＝，解得b＝2，

＝(0,4，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．

設(shè)平面PAD的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

則由得

取n1＝(1,0,1)，

∵sin θ＝＝＝，∴直線PC和平面PAD所成角的正弦值為.

(3)解　假設(shè)存在，設(shè)＝λ，且E(x，y，z)，則(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，設(shè)平面DEB的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

則由得

取n2＝(λ－1,1－λ，λ)，

又平面ABE的法向量n3＝(0,1,0)，

由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合題意)．

∴存在這樣的E點(diǎn)，E為棱PA上的靠近A的三等分點(diǎn)．