Question

18．已知平面上的曲線l及點(diǎn)P，在l上任取一點(diǎn)Q，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到曲線l的距離，記作d（P，l）．
（1）求點(diǎn)P（3，4）到曲線l：x²+y²=4的距離d（P，l）；
（2）設(shè)曲線l：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=1（-1＜x＜1）}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1（1≤x≤2）}\\{（x+1）^{2}+{y}^{2}=1（-2≤x≤-1）}\end{array}\right.$，求點(diǎn)集S={P|2＜d（P，l）≤3}所表示圖形的面積；
（3）設(shè)曲線l₁：y=0（-1≤x≤1），曲線l₂：x²+y²=1，求出到兩條曲線l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|OP|=5，由圓的幾何性質(zhì)可得d（P，l）=|OP|-2=3；
（2）畫(huà)出點(diǎn)集S={P|2＜d（P，l）≤3}所表示圖形，分|x|≤1的部分與|x|＞1的部分求出圖形面積，作和得答案；
（3）畫(huà)出集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}的圖象分點(diǎn)在圓x²+y²=1上，點(diǎn)在圓x²+y²=1外及點(diǎn)在圓x²+y²=1內(nèi)的情況，分類求解得答案．

解答 解：（1）由題意可得|OP|=5，由圓的幾何性質(zhì)可得d（P，l）=|OP|-2=3；
（2）點(diǎn)集S={P|2＜d（P，l）≤3}所表示圖形如陰影部分所示：
在|x|≤1的部分，圖形為上下兩個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形，面積為2×2×1=4．
在|x|＞1的部分，圖形為左右兩個(gè)半圓，面積為π×（5-1）²-π×（4-1）²=7π．
綜上所述，點(diǎn)集S={P|2＜d（P，l）≤3}所表示圖形的面積為4+7π；
（3）集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}的圖象如圖所示：
a、考慮點(diǎn)在圓x²+y²=1上的情況，顯然點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)B（1，0）在集合Ω中．
b、考慮點(diǎn)在圓x²+y²=1外的情況，顯然點(diǎn)A（-1，0）左側(cè)的點(diǎn){（x，y）|y=0，x＜-1}與點(diǎn)B（1，0）右側(cè)的點(diǎn){（x，y）|y=0，x＞1}在集合Ω中．
c、考慮點(diǎn)在圓x²+y²=1內(nèi)的情況，顯然圓心O（0，0）不在集合Ω中．
設(shè)點(diǎn)P（x，y）為圓內(nèi)異于圓心的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸與點(diǎn)C，連接OP并延長(zhǎng)與曲線l₂交于點(diǎn)Q，
則有點(diǎn)C（x，0），Q（$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，$\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$），
若|PC|=|PQ|，則|y|=$\sqrt{（x-\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}）^{2}+（y-\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}）^{2}}$，
即|y|=$\sqrt{（{x}^{2}+{y}^{2}）（1-\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}）^{2}}=\sqrt{（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}-1）^{2}}$．
即${y}^{2}=（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}-1）^{2}={x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+1$，即$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}={x}^{2}+1$．
即4（x²+y²）=（x²+1）²，
∴$y=±\frac{1}{2}（1-{x}^{2}）$（-1＜x＜1）．
綜上所述，Ω={（x，y）|y=0，|x|≥1}∪{（x，y）|y=$±\frac{1}{2}（1-{x}^{2}）$，-1＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．