Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，若E，F(xiàn)分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，則異面直線A₁E與AF所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{10}$

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，CA為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A₁E與AF所成角的余弦值．

解答 解以C為原點(diǎn)，CA為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，
E，F(xiàn)分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，
∴A₁（4，0，6），E（2，2$\sqrt{3}$，3），F(xiàn)（0，0，4），A（4，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，2$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{AF}$=（-4，0，4），
設(shè)異面直線A₁E與AF所成角所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{4}{20\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴異面直線A₁E與AF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．