Question

【題目】如圖，已知圓柱，底面半徑為1，高為2，是圓柱的一個軸截面，動點從點出發(fā)沿著圓柱的側面到達點，其路徑最短時在側面留下的曲線記為：將軸截面繞著軸，逆時針旋轉 角到位置，邊與曲線相交于點.

（1）當時，求證：直線平面；

（2）當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，求得平面的法向量，可得結論；

法二：由已知條件推導出AB⊥A1B1，AB⊥OO1，得到AB⊥平面A1B1C1D1，可得AB⊥B1D1，結合OP⊥B1D1由此能證明直線B1D1⊥平面PAB．

（2）以所在直線為軸，過點與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系，分別求得兩個面的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AB﹣P的余弦值．

（1）方法一：當時，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，，，

，

，.

設平面的法向量為，則，

可取，得，，.

所以直線平面.

方法二：在正方形中，，，∴，

平面，又平面

所以，又，，，平面

所以直線平面.

（2）當時，以所在直線為軸，過點與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖空間直角坐標系，

可得，所以，

設平面的法向量為，則

，可取，得，

又平面的一個法向量為，則

所以二面角的余弦值為.