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如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.

(Ⅰ)答案詳見解析；(Ⅱ)存在，；(Ⅲ) .

解析試題分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各邊長度確定，故可利用勾股定理證明垂直關系
，進而由線面垂直的判定定理可證明平面；(Ⅱ)要使得平面，只需，因為，故；(Ⅲ)點到平面的距離，就是點到平面垂線段的長度，如果垂足位置不易確定，可考慮等體積轉化，該題中點到面的距離確定，故可利用求點到平面的距離.
試題解析：(Ⅰ)連結,由翻折不變性可知,,,在中,,所以， 在圖中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)當為的三等分點(靠近)時,平面.證明如下:
因為,,所以 ， 又平面,平面,所以平面.
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以為三棱錐的高.
設點到平面的距離為,由等體積法得, 即,又,, 所以, 即點到平面的距離為.
考點：1、直線和平面垂直的判定定理；2、直線和平面平行的判定定理；3、點到平面的距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在正方體中，分別的中點.

（1）求證：；
（2）已知是靠近的的四等分點，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分別是BC、PE的中點．

(1)求證：AD⊥PE；
(2)求二面角E－AD－G的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，四條側棱長均相等且交于點.

（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設分別為的中點，點為△內一點，且滿足，
求證：∥面；
（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知三棱柱的側棱長和底面邊長均為2，在底面ABC內的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：

（1）聯結，求異面直線與所成角的大小；
（2）聯結、，求三棱錐C1－BCA1的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知:如圖，等腰直角三角形的直角邊，沿其中位線將平面折起，使平面⊥平面，得到四棱錐，設、、、的中點分別為、、、.

（1）求證：、、、四點共面；
（2）求證：平面平面；
（3）求異面直線與所成的角.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC =60°，AB=PC=2，AP=BP=．

（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

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