如圖,在三棱錐中,平面,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設分別為的中點,點為△內(nèi)一點,且滿足,
求證:∥面;
(Ⅲ)若,,求二面角的余弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)
解析試題分析:(Ⅰ)因為AC和PB是異面直線,所以可以采用線面垂直得線線垂直的方法證,即先平面。要證平面需證面內(nèi)的兩條相交線PA和AB都和AC垂直。為已知條件證PA和AC垂直依據(jù)是線面垂直得線線垂直。(Ⅱ)(法一空間向量法)由題意可以點A為坐標原點,以AC,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系。分別設出AB,AC,AP的三邊長,故可得點A,點B點C點P的坐標,因為點D為PA中點,即可得到點D的坐標,根據(jù)得到點G的坐標,即可求出坐標和平面PBC的一個法向量的坐標,用向量數(shù)量積公式可求得,即,因為平面,所以∥平面.(法二一般方法)由可知,G為三角形重心。設AB中點為E,所以G在OE上,根據(jù)中位線可得∥,連結并延長交于,連。因為∥,且E為AB中點,所以G為AF中點,所以∥,內(nèi)線外線平行所以得線面平行。問題得證。(Ⅲ)采用空間向量法,由(Ⅰ)可知是面PAB的一個法向量。先求兩個法向量所成的角。兩個法向量所成的角與二面角相等或互補。由觀察可知此二面角為銳二面角,所以余弦值為正值。
試題解析:證明:(Ⅰ)因為平面,平面,
所以.
又因為,且,
所以平面.
又因為平面,
所以. 4分
(Ⅱ)
解法1:因為平面,所以,.又因為,
所以建立如圖所示的空間直角坐標系.
設,,,
則,,,
,.
又因為,
所以.
于是,
,.
設平面的一個法向量
,則有
即
不妨設
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為矩形,AD 平面ABE,AE=EB=BC=2,F為CE上的點.且BF 平面ACE.
(1)求證:平面ADE平面BCE;
(2)求四棱錐E-ABCD的體積;
(3)設M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點N,使得MN平面DAE.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖:長方形所在平面與正所在平面互相垂直,分別為的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)試問:在線段上是否存在一點,使得平面平面?若存在,試指出點
的位置,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結、,其中.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.
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