四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,又PA=PD,∠APD=60°,E、G分別是BC、PE的中點.
(1)求證:AD⊥PE;
(2)求二面角E-AD-G的正切值.
(1)AD⊥PE;(2).
解析試題分析:(1)證明線線垂直要通過線面垂直證明,題中所給側(cè)面PAD⊥底面ABCD是面面垂直,通過取AD的中點O,連結(jié)OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,而OE⊥AD.,則AD⊥平面OPE.,從而能夠證出AD⊥PE..(2)求二面角E-AD-G的正切值可以通過兩種方法:①常規(guī)方法,作出二面角的平面角,并求出,取OE的中點F,連結(jié)FG,OG,則由(1)易知AD⊥OG,又OE⊥AD,∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角,再利用三角形中邊長關(guān)系求出∠GOE的正切值;②空間向量法,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出已知點的坐標(biāo),設(shè)平面ADG的法向量為,根據(jù),求出
,而平面EAD的一個法向量為,再根據(jù)求出.
試題解析:(1)如圖,取AD的中點O,連結(jié)OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,
又E是BC的中點,∴OE∥AB,∴OE⊥AD.
又OP∩OE=0,∴AD⊥平面OPE.
∵PE?平面OPE,∴AD⊥PE.
(2)解法一:取OE的中點F,連結(jié)FG,OG,則由(1)易知AD⊥OG,
又OE⊥AD,∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角,
∵PA=PD,∠APD=60°,
∴△APD為等邊三角形,且邊長為2,
∴OP=×2=,F(xiàn)G=OP=,OF=CD=1,
∴OG=,∴cos∠GOE=
解法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E(0,2,0),
∴
設(shè)平面ADG的法向量為,
由得,
∴.
又平面EAD的一個法向量為,
又因為.
考點:1.線線垂直的證明;2.二面角的求解.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動
(Ⅰ)求三棱錐E-PAD的體積;
(Ⅱ)當(dāng)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)證明:無論點E在邊BC的何處,都有PE⊥AF
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形, ,且點滿足 .
(1)證明:平面 .
(2)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,確定點的位置,若不存在請說明理由 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、,其中.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形所在平面與圓所在的平面相交于,線段為圓的弦,垂直于圓所在的平面,垂足為圓上異于、的點,設(shè)正方形的邊長為,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若異面直線與所成的角為,與底面所成角為,二面角所成角為,求證
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