Question

（本小題滿分12分）

如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）證明直線∥；

（II）求棱錐F—OBED的體積。

Answer 1

（本小題滿分12分）本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

       （I）（綜合法）

       證明：設(shè)G是線段DA與EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn). 由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以

=

       ∥，OG=OD=2，

       同理，設(shè)是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有

       又由于G和都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與重合.

=

=

       在△GED和△GFD中，由

=

∥和OC∥，可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.

       （向量法）

       過點(diǎn)F作，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

       由條件知

       則有

       所以即得BC∥EF.

   （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故

       所以

       過點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F—OBED的高，且FQ=，所以