Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1 x2 ，x＜- 1 2 ln(x+1)，x≥- 1 2

，g（x）=x²-4x-4，設(shè)b為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a使f（a）+f（b）=0，則b的取值范圍（　　）

• A、[-1，5]
• B、（-1，5）
• C、（-∞，-1）∪（5，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[5，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用二次函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）值域，進(jìn)而根據(jù)存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x＜-

1

2

，f（x）=

2

x

+（

1

x

）²=（

1

x

+1）²-1，
∵x＜-

1

2

，-2＜

1

x

＜0，
則-1≤f（x）＜0，
當(dāng)x≥-

1

2

時(shí)，x+

3

2

≥1，則ln（x+

3

2

）∈[0，+∞）
若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，
則g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得b∈[-1，5]，
故選：A

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)，函數(shù)的值域，基本不等式，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，存在性問題，二次不等式，是函數(shù)和不等式較為綜合的應(yīng)用，難度中檔．