Question

如圖，設(shè)M點是圓C：x²+（y-4）²=4上的動點，過點M作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于D，E兩點．
（1）求四邊形MAOB面積的最小值；
（2）是否存在點M，使得線段DE被圓C在點M處的切線平分？若存在，求出點M的縱坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）當(dāng)M在y軸上時，四邊形MAOB面積取最小值，由此能求出四邊形MAOB面積的最小值為

3

．
（2）設(shè)存在點M（x₀，y₀）滿足條件設(shè)過點M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀），由題意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，由此利用韋達定理、切線方程，結(jié)合已知條件能求出點M的縱坐標(biāo)．

解答： 解：（1）當(dāng)M在y軸上時，四邊形MAOB面積的最小值．
此時，M（（0，2），|MO|=2，|OA|=|OB|=1，
∴|MA|+|MB|=

22-12

=

3

，
∴（S_{四邊形MAOB}）_min=2（

1

2

×|MA|×|OA|）=

3

．
∴四邊形MAOB面積的最小值為

3

．
（2）設(shè)存在點M（x₀，y₀）滿足條件
設(shè)過點M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）
則由題意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，
化簡得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k1+k2=

2x0y0

x02-1

，k1k2=

y02-1

x02-1

圓C在點M處的切線方程為y-y0=

-x0

y0-4

(x-x0)
令y=0，得切線與x軸的交點坐標(biāo)為(

y02-4y0

x0

+x0，0)
又得D，E的坐標(biāo)分別為(

-y0

k1

+x0，0)，(

-y0

k2

+x0，0)
由題意知，2(

y02-4y0

x0

+x0)=

-y0

k1

+x0+

-y0

k2

+x0
用韋達定理代入可得，

y 0-4

x0

=

-x0y0

y02-1

，
與x02+(y0-4)2=4聯(lián)立，得y0=

13+ 105

8

，
∴點M的縱坐標(biāo)為

13+ 105

8

．

點評：本題考查四邊形的面積的最小值的求法，考查點的縱坐標(biāo)的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．