已知是等差數(shù)列,首項
,前
項和為
.令
,
的前
項和
.數(shù)列
是公比為
的等比數(shù)列,前
項和為
,且
,
.
(1)求數(shù)列、
的通項公式;
(2)證明:.
(1) ,
;(2)見解析.
解析試題分析:(1)首先設(shè)等差數(shù)列的公差為,由已知建立
的方程,求得
,寫出等差數(shù)列的通項公式;進(jìn)一步確定等比數(shù)列的公比,求得等比數(shù)列的通項公式.
(2)求得,將不等式加以轉(zhuǎn)化成
,
即證:.注意到這是與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題,故考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.
很明顯時,
,因此用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)
時,
.
試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為
所以
則
則
解得,所以
4分
所以,
所以 6分
(2)由(1)知,
要證,
只需證
即證: 8分
當(dāng)時,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時,
(1)當(dāng)時,左邊
,右邊
,左
右,不等式成立
(2)假設(shè),
則時,
時不等式成立
根據(jù)(1)(2)可知:當(dāng)時,
綜上可知:對于
成立
所以 12分
考點:等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式,數(shù)學(xué)歸納法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前n項和為
,
,且
成等比數(shù)列,當(dāng)
時,
.
(1)求證:當(dāng)時,
成等差數(shù)列;
(2)求的前n項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),求證:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(1)已知兩個等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若數(shù)列{an}唯一,求a的值;
(2)是否存在兩個等比數(shù)列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列?若存在,求{an},{bn}的通項公式;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+S2=12,q=.
(1)求an與bn.
(2)證明:≤
+
+…+
<
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差d=-1,前n項和為Sn.
(1)若S5=-5,求a1的值.
(2)若Sn≤an對任意正整數(shù)n均成立,求a1的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列(常數(shù)
),其前
項和為
(
)
(1)求數(shù)列的首項
,并判斷
是否為等差數(shù)列,若是求其通項公式,不是,說明理由;
(2)令的前n項和,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的前
項和為
.
(1)請寫出數(shù)列的前
項和
公式,并推導(dǎo)其公式;
(2)若,數(shù)列
的前
項和為
,求
的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前
項和為
,滿足
且
恰好是等比數(shù)列
的前三項.
(Ⅰ)求數(shù)列、
的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前
項和為
,若對任意的
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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