Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1.5	2	1

下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）的值域為[1，2]；
②如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）的最大值為2，那么t的最大值為4；
③函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個零點．
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值，可判斷①的真假；
根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，及表中幾個點的坐標(biāo)，易分析出0≤t≤5，均能保證x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，進而判斷②的真假；
根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，易分析出f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，可判斷③的真假；
根據(jù)函數(shù)的交點個數(shù)判斷④的真假．

解答 解：∵由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，f（x）在[-1，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，4）遞增，在（4，5]遞減，
結(jié)合圖象函數(shù)的最小值是1，最大值是2，故函數(shù)f（x）的值域為[1，2]，①正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時，函數(shù)取最大值2，若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即②錯誤；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數(shù)，即③正確；
當(dāng)1.5＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點，故當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有2，3，4個零點，最多有4個零點，故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知，分析出函數(shù)的大致形狀，利用圖象分析函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．