Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=AD=

1

2

AB=a，點(diǎn)E、F分別為PA、PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD； 
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，由已知得EF∥AC，由此能證明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）由已知得PA⊥AB，PC⊥BC，從而四棱錐P-ABCD的表面積：S=AB•BC+

1

2

PD•AD+

1

2

PD•DC+

1

2

PA•AB+

1

2

PC•BC，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，
∵點(diǎn)E、F分別為PA、PC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，
∵EF不包含于平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，
底面ABCD為矩形，PD=AD=

1

2

AB=a，
∴PA⊥AB，PC⊥BC，
∴四棱錐P-ABCD的表面積：
S=AB•BC+

1

2

PD•AD+

1

2

PD•DC+

1

2

PA•AB+

1

2

PC•BC
=2a²+

1

2

a2+a²+

2

a2+

5

2

a2
=(

7

2

+

2

+

5

2

)a2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．