Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n為奇數(shù)}\\{-{a}_{n}-n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=a_2n，其中n∈N^*．
（Ⅰ） 求a₂+a₃的值；
（Ⅱ） 證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ） 是否存在n（n∈N^*），使得數(shù)列{a_n}前2n+1項的和S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$恒成立，若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根據(jù)數(shù)列的遞推關系依次求出a₂、a₃的值，再求出a₂+a₃的值；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的遞推關系和題意求出b_n+1的表達式，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）先假設存在n滿足條件，由等比數(shù)列的通項公式求出b_n以及b_2n，設c_n=a_2n+a_2n+1并化簡，利用分組求和法和等差數(shù)列的前n項和公式求出S_2n+1，解不等式即可得所有的n的值．

解答 解：（I） 因為a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n為奇數(shù)}\\{-{a}_{n}-n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
所以a₂=2a₁+2-2=1，a₃=-a₂-2=-3，所以a₂+a₃=-2；
（Ⅱ） 證明：因為a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n為奇數(shù)}\\{-{a}_{n}-n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
又b_n=a_2n，所以b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+4n=2（-a_2n-2n）+4n=-2a_2n=-2b_n，
則$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=-2，且b₁=a₂=1，
故數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列；
（Ⅲ）假設存在n（n∈N^*），使得數(shù)列{a_n}前2n+1項的和S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$恒成立，
由 （Ⅱ） 知，b_n=（-2）^n-1，則b_2n=（-2）^2n-1=-2^2n-1，
設c_n=a_2n+a_2n+1=a_2n+（-a_2n-2n）=-2n，
所以S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）=a₁+c₁+c₂+…+c_n
=$\frac{1}{2}$-2（1+2+3+…+n）=$\frac{1}{2}-2×\frac{n（1+n）}{2}$=$-{n}^{2}-n+\frac{1}{2}$，
由S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$得，$-{n}^{2}-n+\frac{1}{2}≥-\frac{23}{2}$，
化簡得n²+n-12≤0，解得-4≤n≤3，
所以，使得數(shù)列{a_n}前2n+1項的和S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$恒成立，所有的n的值是1、2、3．

點評 本題考查遞推數(shù)列的應用，定義法證明等比數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的求和方法：分組求和法和，考查學生的運算和推理能力．