Question

15．某同學(xué)在研究三角形的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了有些三角形的三邊長(zhǎng)有以下規(guī)律：
①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）²＜4（3×4+4×5+5×3）；
②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）²＜4（6×8+8×9+9×6）；
③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）²＜4（3×4+4×6+6×3）．
分析以上各式的共同特征，試猜想出關(guān)于任一三角形三邊長(zhǎng)a，b，c的一般性的不等式結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 根據(jù)三個(gè)不等式猜測(cè)三角形三邊長(zhǎng)a，b，c的一般性的不等式結(jié)論：3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）²＜4（ab+ac+bc）；
然后利用比較法證明即可．

解答 解：由已知規(guī)律：
①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）²＜4（3×4+4×5+5×3）；
②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）²＜4（6×8+8×9+9×6）；
③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）²＜4（3×4+4×6+6×3）．
根據(jù)以上各式的共同特征，猜想出關(guān)于任一三角形三邊長(zhǎng)a，b，c的一般性的不等式結(jié)論：3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）²＜4（ab+ac+bc）；
證明：（a+b+c）²-3（ab+ac+bc）=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc=a²+b²+c²-ab-ac-bc=$\frac{1}{2}（a-b）^{2}+\frac{1}{2}（a-c）^{2}+\frac{1}{2}（b-c）^{2}≥0$，
所以3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）²；
（a+b+c）²-4（ab+ac+bc）=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc-4ab-4ac-4bc=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc=（a-b-c）²≥0．
所以（a+b+c）²＜4（ab+ac+bc）；
所以3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）²＜4（ab+ac+bc）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形三邊關(guān)系；利用比較法證明猜測(cè)成立．