Question

16．已知函數(shù)R（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x=0\\ \frac{1}{p}，x=\frac{q}{p}\\ 0，x∈{C_R}Q\end{array}$（p∈N⁺}，q∈Z且q≠0）其中p，q的公約數(shù)只有1，在下列結(jié)論中正確的有（　　）①R（$\frac{1}{4}$）=R（$\frac{3}{4}$）； ②R（$\frac{1}{5}$）=R（$\frac{6}{5}$）；③?x∈R，R（-x）=R（x）；④?x∈R，R（x+1）=R（x）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ①②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 由題目給出的定義判斷①②正確；由分段函數(shù)的奇偶性判斷③正確；由函數(shù)的周期性判斷④正確．

解答 解：由R（x）=$\frac{1}{p}$，（p∈N⁺，q∈Z且q≠0，其中p，q的公約數(shù)只有1），
可得R（$\frac{1}{4}$）=R（$\frac{3}{4}$），R（$\frac{1}{5}$）=R（$\frac{6}{5}$），故①②正確；
∵R（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x=0\\ \frac{1}{p}，x=\frac{q}{p}\\ 0，x∈{C_R}Q\end{array}$（p∈N⁺}，∴當(dāng)x=0時(shí)，R（-0）=R（0）=1；當(dāng)x=$\frac{q}{p}$時(shí)，R（-x）=R（-$\frac{q}{p}$）=$\frac{1}{p}$=R（$\frac{q}{p}$）=R（x）；當(dāng)x∈C_RQ時(shí)，R（-x）=R（x）=0．
∴?x∈R，R（-x）=R（x），故③正確；
當(dāng)x=0時(shí)，R（0）=1=R（1）；當(dāng)x=$\frac{q}{p}$時(shí)，R（$\frac{q}{p}$）=R（$\frac{q}{p}+1$）=R（$\frac{q+1}{p}$）=$\frac{1}{p}$；當(dāng)x∈C_RQ時(shí)，x+1∈C_RQ，R（x+1）=R（x）．
∴?x∈R，R（x+1）=R（x），故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了新定義下的函數(shù)性質(zhì)，是中檔題．