Question

7．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}-blnx（b∈R）$，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²，求證g（x）＞f（x）-2ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的切線，建立方程關(guān)系即可求b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=x-\frac{1}{x}-blnx$，
所以$f'（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{x}=\frac{{{x^2}-bx+1}}{x^2}$…（2分）
由題設(shè)知f'（1）=2-b=0，
∴b=2…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，
故只需證${x^2}-x+\frac{1}{x}+2lnx+2ln2＞0$，
設(shè)$F（x）={x^2}-x+\frac{1}{x}+2lnx+2ln2（{x＞0}）$，…（6分）
F′（x）=2x-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1+2x}{{x}^{2}}$=$\frac{（{x}^{2}+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$
令F′（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$…（8分）
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
所以，$F{（x）_{min}}=F（\frac{1}{2}）=\frac{7}{4}＞0，F(xiàn)（x）＞0$…（11分）
所以，g（x）＞f（x）-2ln2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．