Question

18．求下列各曲線的標準方程
（1）焦點是橢圓16x²+9y²=144的左頂點的拋物線；
（2）與雙曲線$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=1$共漸進線且過點$（1，\sqrt{3}）$的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的標準方程為y²=-2px（p＞0），其焦點坐標為$（-\frac{p}{2}，0）$，則$\frac{p}{2}=3$，由此能求出拋物線的標準方程．
（2）由已知可設(shè)雙曲線的標準方程為$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=λ（λ≠0）$，將點$（1，\sqrt{3}）$代入，能求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）由已知，橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$，其左頂點為（-3，0），
設(shè)拋物線的標準方程為y²=-2px（p＞0），其焦點坐標為$（-\frac{p}{2}，0）$，
則$\frac{p}{2}=3$，即p=6，
所以拋物線的標準方程為y²=-12x．…（5分）
（2）由已知可設(shè)雙曲線的標準方程為$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=λ（λ≠0）$
將點$（1，\sqrt{3}）$代入該方程，得：$\frac{{{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}{{{5^{\;}}}}-\frac{{{1^{\;}}}}{5}=λ$，解得$λ=\frac{2}{5}$
所以雙曲線的標準方程為$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=\frac{2}{5}$，即$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$…．…（10分）

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、拋物線、雙曲線性質(zhì)的合理運用．