Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=

f(x)+1，x≥0 1，        x＜0

，求滿足g（1-x）＞g（2）的x的取值范圍；
（3）若對任意的x∈[a，a+2]，不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，解不等式g（1-x）＞g（2）即可求x的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=x²=-f（x），
則f（x）=-x²．
則f（x）=

x2， x≥0 -x2， x＜0

；
（2）g（x）=

f(x)+1，x≥0 1，        x＜0

=

x2+1， x≥0 1， x＜0

，
則當(dāng)x≥0時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)1-x＜0時，g（1-x）=1，g（2）=5，
此時不等式g（1-x）＞g（2）不成立，
若1-x≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，則不等式g（1-x）＞g（2）等價為

1-x≥0 1-x＞2

，
即

x≤1 x＜-1

，解得x＜-1，
即x的取值范圍是（-∞，-1）；
（3）∵f（x）=

x2， x≥0 -x2， x＜0

；
∴2f（x）=f（

2

x），
若對任意的x∈[a，a+2]，不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立，
等價為2f（x）≤-f（a-x）=f（x-a），
即f（

2

x）≤f（x-a），
∵函數(shù)f（x）=

x2， x≥0 -x2， x＜0

在定義域R上單調(diào)遞增，
∴f（

2

x）≤f（x-a）在x∈[a，a+2]恒成立，
等價為

2

x≤x-a在x∈[a，a+2]恒成立，
即-a≥（

2

-1）x，
∵x∈[a，a+2]，
∴-a≥（

2

-1）（a+2），
即-

2

a≥2（

2

-1），
解得a≤

2

-2．

點(diǎn)評：本題主要考查考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)之間的關(guān)系將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．