Question

【題目】設函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)，求證：函數(shù)的極大值小于1.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，分別討論和，即可得出結(jié)果；

（2）先將函數(shù)在時恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再設，，利用導數(shù)方法求出的最大值，即可得出結(jié)果；

（3）先由題意得到，對求導，利用導數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出其極大值，得出結(jié)論.

解：（1）由于，，

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，由得，由得；

所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（2）若在上恒成立，

只需，.

令，，則，

由得，所以

，隨的變化情況如下：

		1
	+	0	-
		極大值

所以，所以.

（3）由題知，，

令，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，

所以存在唯一的，

當時，；當時，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

其中，所以函數(shù)有極大值.

函數(shù)的極大值是，由，得，

所以，因為，所以，即，

所以的極大值小于1.