Question

10．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\sqrt{x}$
（1）求f（9）和f（-4）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈A時(shí)，f（x）∈[-7，3]，求區(qū)間A．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義利用代入法即可求f（9）和f（-4）；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用轉(zhuǎn)化法即可求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈A時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性由f（x）∈[-7，3]，建立方程即可求區(qū)間A．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\sqrt{x}$，
∴f（9）=3，f（-4）=-f（4）=-2，
（2）若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=$\sqrt{-x}$=-f（x），
即f（x）=-$\sqrt{-x}$，x＜0，
即$\begin{array}{l}f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}，x≥0\\-\sqrt{-x}，x＜0\end{array}\right.\end{array}$，
（3）∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）是增函數(shù)，∴當(dāng)x≤0時(shí)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
即函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）∈[-7，3]，
∴由$\sqrt{x}$=3，即x=9，
由-$\sqrt{-x}$=-7得$\sqrt{-x}$=7，則-x=49，x=-49，
即A=[-49，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合轉(zhuǎn)化法，以及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．