Question

20．過定點(diǎn)P（1，2）的直線l交雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），雙曲線的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}+1$．求曲線C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，運(yùn)用作差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率公式，可得b=2a，再由a+c=1+$\sqrt{5}$，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{a^2}-\frac{{{y_1}^2}}{b^2}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{a^2}-\frac{{{y_2}^2}}{b^2}=1\end{array}\right.$，
相減得：$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{（{{x_1}+{x_2}}）{b^2}}}{{（{{y_1}+{y_2}}）{a^2}}}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=8，
且直線l的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4-2}{2-1}$=2，
即有$2=\frac{{4{b^2}}}{{8{a^2}}}$，得b²=4a²．
又$a+c=\sqrt{5}+1$且a²+b²=c²，
解得a²=1，b²=4，
故雙曲線的方程為：${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．