Question

9．等腰直角三角形ABC中，A=90°，A，B在雙曲線E的同一支上，且線段AB通過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，C為雙曲線E的另一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 設(shè)線段AB通過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F為（-c，0），C為雙曲線E的另一個(gè)焦點(diǎn)（c，0），設(shè)|AF|=m，|BF|=n，運(yùn)用雙曲線的定義，可得|AC|=m+2a，|BC|=n+2a，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得m=2（$\sqrt{2}$-1）a，再在直角三角形ACF中，運(yùn)用勾股定理，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)線段AB通過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F為（-c，0），
C為雙曲線E的另一個(gè)焦點(diǎn)（c，0），
設(shè)|AF|=m，|BF|=n，
由雙曲線的定義可得|AC|-|AF|=|BC|-|BF|=2a，
即有|AC|=m+2a，|BC|=n+2a，
由等腰直角三角形ABC中，A=90°，
可得|AB|=|AC|，|BC|=$\sqrt{2}$|AC|，
即有m+n=m+2a，即n=2a，
又n+2a=$\sqrt{2}$（m+2a），
解得m=2（$\sqrt{2}$-1）a，
則|AF|=2（$\sqrt{2}$-1）a，|AC|=2$\sqrt{2}$a，
在直角三角形ACF中，可得
|CF|²=|AC|²+|AF|²，
即為4c²=8a²+4（3-2$\sqrt{2}$）a²，
即為c²=（5-2$\sqrt{2}$）a²，
可得雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．