Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，它的周期是π，則（　�。�

• A． f（x）的圖象過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是減函數(shù)
• C． f（x）的一條對(duì)稱軸方程為x=-$\frac{π}{12}$
• D． f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$

Answer 1

分析 由函數(shù)的周期是π，求得ω的值，再根據(jù)它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，求得φ，可得函數(shù)的解析式．再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的周期是π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．
再根據(jù)它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，可得2×$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，故φ=$\frac{π}{6}$，
故有 函數(shù)f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2x+$\frac{π}{6}$=nπ，n∈Z，求得x=$\frac{nπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，故它的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），
故f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．