Question

已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l₁：y＝2x，l₂：y＝－2x.

(1)求雙曲線E的離心率．

(2)如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l₁，l₂于A，B兩點(A，B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解　(1)因為雙曲線E的漸近線分別為y＝2x，y＝－2x，

所以＝2，所以＝2，故c＝a，

從而雙曲線E的離心率e＝＝.

(2)由(1)知，雙曲線E的方程為－＝1.

設(shè)直線l與x軸相交于點C.

當(dāng)l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，

則|OC|＝a，|AB|＝4a.

又因為△OAB的面積為8，

所以|OC|·|AB|＝8，

因此a·4a＝8，解得a＝2，

此時雙曲線E的方程為－＝1.

若存在滿足條件的雙曲線E，

則E的方程只能為－＝1.

以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時，雙曲線E：－＝1也滿足條件．

設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，依題意，得k>2或k<－2，則記A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由

由S_△OAB＝|OC|·|y₁－y₂|，得

即m²＝4|4－k²|＝4(k²－4)．

由得(4－k²)x²－2kmx－m²－16＝0.

因為4－k²<0，

所以Δ＝4k²m²＋4(4－k²)(m²＋16)

＝－16(4k²－m²－16)．

又因為m²＝4(k²－4)，

所以Δ＝0，即l與雙曲線E有且只有一個公共點．

因此，存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為－＝1.