【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點(diǎn)M，使得：（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱直線l具有性質(zhì)H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質(zhì)H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，使得直線、、都具有性質(zhì)H.

【答案】（1）（2）；（3）證明見解析；

【解析】

(1)根據(jù)正三角形中的長度關(guān)系列出的關(guān)系求解即可.

(2) 設(shè)直線,再求得滿足的關(guān)系式,進(jìn)而代入化簡求解即可.

(3)假設(shè)存在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R滿足條件,再將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,分情況討論得出矛盾即可.

(1),所以,

又右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形,所以,

因?yàn)?/span>,

解得：,,

所以,橢圓方程為：

(2)設(shè)直線,則,

其中滿足：,,

設(shè),

∵（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

∴,

∵點(diǎn)在橢圓上,

∴,

∴,

∴,

∴直線的方程為或.

(3) 證明：假設(shè)在橢圓上存在三個(gè)不同的點(diǎn),

使得直線都具有性質(zhì),

∵直線具有性質(zhì),

∴在橢圓上存在點(diǎn)M,使得：,

設(shè),則,,

∵點(diǎn)在橢圓上,∴,

又∵,,代入化簡得,①

同理：②, ,③

1)若中至少一個(gè)為0,不妨設(shè),則,

由①③得,即為長軸的兩個(gè)端點(diǎn),則②不成立,矛盾。

2)若均不為0,則由①②③得,矛盾。

∵在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R,使得直線、、都具有性質(zhì)H.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】一次猜獎(jiǎng)游戲中，1，2，3，4四扇門里擺放了，，，四件獎(jiǎng)品（每扇門里僅放一件）.甲同學(xué)說：1號(hào)門里是，3號(hào)門里是；乙同學(xué)說：2號(hào)門里是，3號(hào)門里是；丙同學(xué)說：4號(hào)門里是，2號(hào)門里是；丁同學(xué)說：4號(hào)門里是，3號(hào)門里是.如果他們每人都猜對(duì)了一半，那么4號(hào)門里是（ ）

A.B.C.D.

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A.樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量

B.樣本中有學(xué)物理意愿的學(xué)生數(shù)量多于有學(xué)歷史意愿的學(xué)生數(shù)量

C.樣本中的男生偏愛物理

D.樣本中的女生偏愛歷史

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某工廠因排污比較嚴(yán)重，決定著手整治，一個(gè)月時(shí)污染度為，整治后前四個(gè)月的污染度如下表：

月數(shù)

…

污染度

…

污染度為后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現(xiàn)用下列三個(gè)函數(shù)模擬從整治后第一個(gè)月開始工廠的污染模式：，，，其中表示月數(shù)，、、分別表示污染度．

（1）問選用哪個(gè)函數(shù)模擬比較合理，并說明理由；

（2）若以比較合理的模擬函數(shù)預(yù)測(cè)，整治后有多少個(gè)月的污染度不超過．

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【題目】海水稻就是耐鹽堿水稻，是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區(qū)的水稻，具有抗旱抗?jié)�、抗病蟲害、抗倒伏抗鹽堿等特點(diǎn).近年來，我國的海水稻研究取得了階段性成果，目前已開展了全國大范圍試種.某農(nóng)業(yè)科學(xué)研究所分別抽取了試驗(yàn)田中的海水稻以及對(duì)照田中的普通水稻各株，測(cè)量了它們的根系深度（單位：），得到了如下的莖葉圖，其中兩豎線之間表示根系深度的十位數(shù)，兩邊分別是海水稻和普通水稻根系深度的個(gè)位數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A.海水稻根系深度的中位數(shù)是

B.普通水稻根系深度的眾數(shù)是

C.海水稻根系深度的平均數(shù)大于普通水稻根系深度的平均數(shù)

D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差

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（1）若數(shù)列共3項(xiàng)，求所有滿足要求的數(shù)列；

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（3）請(qǐng)構(gòu)造出一個(gè)滿足已知條件的無窮數(shù)列，并使得.

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，的面積為，求的值；

（3）若直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的縱截距為，證明：為定值.

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（1）若，，求、的長度；

（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；

（3）若，求的最大值.

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